Rumus Persamaan Linier Dua Variabel

Rumus persamaan linier dua variabel adalah metode matematika yang digunakan untuk menyelesaikan dan memodelkan hubungan antara dua variabel dalam bentuk persamaan linier. Persamaan linier dua variabel dapat digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua kuantitas yang saling bergantung, seperti harga dan kuantitas, suhu dan kelembaban, atau waktu dan jarak.

Daftar Isi

Secara umum, persamaan linier dua variabel ditulis dalam bentuk:

• ax + by = c

di mana a, b, dan c adalah koefisien yang menggambarkan hubungan antara kedua variabel. Variabel x dan y mewakili nilai yang ingin dicari atau dianalisis dalam konteks persamaan tersebut.

Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, di antaranya:

1. Metode Substitusi

Metode ini melibatkan mengisolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan dan menggantikan variabel tersebut dalam persamaan lainnya. Dengan melakukan substitusi ini, kita dapat menentukan nilai yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Contoh:

Metode Substitusi adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel. Metode ini melibatkan mengisolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan, kemudian menggantikan variabel tersebut dalam persamaan lainnya. Dengan melakukan substitusi ini, kita dapat menentukan nilai yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Berikut adalah langkah-langkah yang diperlukan untuk menggunakan metode substitusi:

1. Identifikasi persamaan yang akan digunakan sebagai persamaan yang akan diisolasi variabelnya. Misalnya, jika terdapat dua persamaan:
• Persamaan 1: 2x + 3y = 10
• Persamaan 2: 4x - y = 5
Mari kita ambil Persamaan 2 sebagai persamaan yang akan diisolasi variabelnya.
2. Isolasikan salah satu variabel dalam persamaan yang dipilih. Dalam contoh ini, kita akan mengisolasi y dalam Persamaan 2:
• 4x - y = 5
• y = 4x - 5
Sekarang kita memiliki ekspresi y dalam bentuk tunggal.
3. Gantikan ekspresi variabel yang diisolasi (y) dalam persamaan lainnya. Mari kita gantikan y dalam Persamaan 1 dengan ekspresi yang ditemukan:
• 2x + 3(4x - 5) = 10
Dalam langkah ini, kita menggantikan setiap kemunculan y dalam Persamaan 1 dengan 4x - 5.
4. Selanjutnya, kita menyederhanakan dan menyelesaikan persamaan untuk mencari nilai x. Lanjutkan dengan memperhatikan koefisien x dan konstanta pada kedua sisi persamaan, kemudian kelompokkan semua variabel dan konstanta pada satu sisi persamaan dan hasil pada sisi lainnya. Dalam contoh ini:
• 2x + 12x - 15 = 10
• 14x - 15 = 10
• 14x = 25
• x = 25/14
Sekarang kita telah menentukan nilai x.
5. Terakhir, substitusikan nilai x yang telah kita temukan ke dalam salah satu persamaan asli untuk mencari nilai y. Dalam contoh ini, mari kita substitusikan x = 25/14 ke Persamaan 1:
• 2(25/14) + 3y = 10
• 50/14 + 3y = 10
• 3y = 10 - 50/14
• 3y = (140 - 50)/14
• 3y = 90/14
• y = 30/14
Sekarang kita juga telah menentukan nilai y.

Jadi, solusi dari persamaan linier dua variabel menggunakan metode substitusi adalah x = 25/14 dan y = 30/14.

2. Metode Eliminasi

Metode eliminasi melibatkan penghapusan salah satu variabel dengan mengalikan kedua persamaan dengan konstanta sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama atau sebanding. Setelah itu, kedua persamaan dikurangi atau ditambahkan untuk menghilangkan variabel tersebut.

Contoh:

Metode Eliminasi adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel. Metode ini melibatkan penghapusan salah satu variabel dengan mengalikan kedua persamaan dengan konstanta sehingga koefisien salah satu variabel menjadi sama atau sebanding. Setelah itu, kedua persamaan dikurangi atau ditambahkan untuk menghilangkan variabel tersebut.

Berikut adalah langkah-langkah yang diperlukan untuk menggunakan metode eliminasi:

1. Identifikasi persamaan yang akan digunakan untuk mengeliminasi salah satu variabel. Misalnya, jika terdapat dua persamaan:
• Persamaan 1: 2x + 3y = 10
• Persamaan 2: 4x - y = 5
Mari kita ambil Persamaan 2 untuk dieliminasi variabel y.
2. Perhatikan koefisien variabel yang akan dieliminasi (y) pada kedua persamaan. Dalam contoh ini, koefisien y pada Persamaan 1 adalah 3 dan pada Persamaan 2 adalah -1. Untuk mengeliminasi y, kita perlu membuat koefisien y menjadi sama atau sebanding. Dalam hal ini, kita akan mengalikan Persamaan 2 dengan 3:
• 3(4x - y) = 3(5)
• 12x - 3y = 15
Sekarang kita memiliki Persamaan 2 yang telah dikalikan dengan 3.
3. Sekarang, kita akan mengurangkan Persamaan 1 dengan Persamaan 2 yang telah dikalikan dengan 3. Dalam hal ini, Persamaan 1 dikurangkan dengan Persamaan 2:
• (2x + 3y) - (12x - 3y) = 10 - 15
• 2x + 3y - 12x + 3y = -5
• -10x + 6y = -5
Sekarang kita memiliki persamaan baru setelah pengurangan.
4. Sederhanakan persamaan yang dihasilkan untuk mencari nilai variabel yang tersisa. Dalam contoh ini:
• -10x + 6y = -5
Dalam kasus ini, kita dapat membagi semua koefisien persamaan dengan faktor persekutuan terbesar untuk menyederhanakan persamaan. Dalam hal ini, faktor persekutuan terbesar adalah 1, sehingga persamaan tetap tidak berubah.
5. Selanjutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan yang dihasilkan untuk mencari nilai variabel yang tersisa. Dalam contoh ini, kita akan menyelesaikan persamaan:
• -10x + 6y = -5
• 6y = 10x - 5
• y = (10x - 5) / 6
Sekarang kita telah menentukan nilai y.
6. Terakhir, substitusikan nilai y yang telah kita temukan ke dalam salah satu persamaan asli untuk mencari nilai x. Dalam contoh ini, mari kita substitusikan y = (10x - 5) / 6 ke Persamaan 1:
• 2x + 3((10x - 5) / 6) = 10
Dalam langkah ini, kita menggantikan setiap kemunculan y dalam Persamaan 1 dengan (10x - 5) / 6.
7. Selanjutnya, kita menyederhanakan dan menyelesaikan persamaan untuk mencari nilai x. Lanjutkan dengan memperhatikan koefisien x dan konstanta pada kedua sisi persamaan, kemudian kelompokkan semua variabel dan konstanta pada satu sisi persamaan dan hasil pada sisi lainnya. Dalam contoh ini:
• 2x + 3((10x - 5) / 6) = 10
• 2x + (30x - 15) / 6 = 10
• 12x + 30x - 15 = 60
• 42x - 15 = 60
• 42x = 75
• x = 75 / 42
Sekarang kita telah menentukan nilai x.

Jadi, solusi dari persamaan linier dua variabel menggunakan metode eliminasi adalah x = 75/42 dan y = (10x - 5) / 6.

3. Metode Matriks

Metode ini menggunakan aljabar matriks untuk memecahkan persamaan linier dua variabel. Persamaan linier dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, dan kemudian operasi matriks seperti perkalian dan inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai variabel yang diinginkan.

Contoh:

Metode Matriks adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel. Metode ini menggunakan aljabar matriks untuk memecahkan persamaan linier dua variabel. Persamaan linier dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, dan kemudian operasi matriks seperti perkalian dan inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai variabel yang diinginkan.

Berikut adalah langkah-langkah yang diperlukan untuk menggunakan metode matriks:

1. Identifikasi persamaan yang akan digunakan dalam bentuk matriks. Misalnya, jika terdapat dua persamaan:
• Persamaan 1: 2x + 3y = 10
• Persamaan 2: 4x - y = 5
Bentuk matriks dari persamaan ini adalah:
• [2 3] [x] [10]
• [4 -1] [y] = [5]
2. Susun matriks koefisien dan matriks hasil di samping untuk membentuk matriks augmented. Dalam contoh ini, kita memiliki:
• [2 3 | 10]
• [4 -1 | 5]
3. Terapkan operasi matriks pada matriks augmented untuk mencari solusi. Dalam hal ini, kita akan menggunakan operasi elemen matriks untuk menyederhanakan matriks augmented.
• Langkah pertama adalah membuat koefisien x pada posisi (2,1) menjadi 0. Dalam hal ini, kita akan mengalikan baris pertama dengan -2 dan menjumlahkannya dengan baris kedua:
• [-4 -6 | -20]
• [4 -1 | 5]
• Langkah kedua adalah membuat koefisien pada posisi (2,1) menjadi 0. Dalam hal ini, kita akan menjumlahkan baris pertama dengan baris kedua:
• [0 -7 | -15]
• [4 -1 | 5]
Sekarang kita memiliki matriks augmented yang disederhanakan.
4. Teruskan dengan mengisolasi variabel yang tersisa. Dalam hal ini, kita akan mengekspresikan y dalam bentuk tunggal:
• -7y = -15
• y = -15 / -7
• y = 15 / 7
Sekarang kita telah menentukan nilai y.
5. Terakhir, substitusikan nilai y yang telah kita temukan ke dalam salah satu persamaan asli untuk mencari nilai x. Dalam contoh ini, mari kita substitusikan y = 15/7 ke Persamaan 1:
• 2x + 3(15/7) = 10
• 2x + 45/7 = 10
• 2x = 70/7 - 45/7
• 2x = 25/7
• x = (25/7) / 2
• x = 25/14
Sekarang kita juga telah menentukan nilai x.

Jadi, solusi dari persamaan linier dua variabel menggunakan metode matriks adalah x = 25/14 dan y = 15/7.

Setelah nilai variabel ditemukan, kita dapat menginterpretasikan hasilnya dalam konteks permasalahan yang sedang dibahas. Misalnya, jika kita menggunakan persamaan linier dua variabel untuk memodelkan hubungan antara harga dan kuantitas suatu barang, hasilnya dapat memberikan informasi tentang hubungan harga dan permintaan.

Rumus persamaan linier dua variabel memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, termasuk ekonomi, ilmu sosial, ilmu alam, dan teknik. Dengan menggunakan persamaan linier dua variabel, kita dapat menganalisis dan memprediksi hubungan antara dua variabel yang penting dalam konteks yang relevan.

Namun, penting untuk diingat bahwa persamaan linier dua variabel hanya memberikan gambaran umum tentang hubungan antara dua variabel tersebut. Dalam banyak kasus, hubungan antara variabel dapat lebih kompleks dan memerlukan model matematika yang lebih lanjut untuk menggambarkan dengan akurat.

Tito Reista A Civil Engineering professional who has contributed to companies including PT Sinar Mas Agro Resources and Technology Tbk, PT Jhonlin Group, and PT Citra Borneo Indah.

Share :